.......مهرجــــــــان المعـــــادلات.........

في الايام القليلة الماضية قدم معلمين ومعلمات الرياضيات للمرحلة المتوسطة مهرجان للمعادلات وبينوا طرق متعددة في استخدام وشرح المعادلات والتالي بعض مما عرض منها:


المعادلات في حياتنا

لمعادلات هي حالات في الجبر تكون فيها القيمة الكاملة على يسار إشارة مساواة مساوية تماما لتلك على يمين الإشارة وعدم التعادل هو نوع آخر من الحالات الجبرية، ويمكن أن تكون صحيحة لعدة قيم معينه فقط.
وعندما نتحدث عن حل المعادلات فإننا نعني إيجاد ماتمثله المجاهيل .
بعض المعادلات يمكن أن يكون لها عدة حلول صحيحة هذا ما يجعلها مختلفة جدا عن المعادلات العادية في الحساب.
إن طرفي معادلة هما مثلي كفتي ميزان قديم الطراز كل جانب يجب أن يوازن الأخر تماما
وأي تغير نجريه في جانب يجب أن نجريه في الجانب الأخر.
وهذا ما يسمى بخصائص المساواة التي يجب أن نتقيد بها لنضمن صحة حلنا للمعادلة.
جهود علماء المسلمين في حل المعادلات
عرف العرب قبل الإسلام نوعا من الجبر كان يرد في طرائفهم وأشعارهم من قبيل الألغاز,وقد كثر ذكر المعادلات ذات المجهول الواحد في أشعارهم كقول زرقاء اليمامة
ليت الحمام ليه ..إلى حمامتيه
أو نصفه فقديه..صار الحمام ميه
وأعظم رياضي القرن الثالث عشر الهجري هو محمد بن موسى الخوارزمي,وهو أو من سمى علم الجبر جبرا وأول من ألف في هذا العلم وكتابه المشهور (الجبر والمقابلة)
ولم يستخدم الرياضيون الرموز في بادئ الأمر وإنما جاءت هذه الرموز في حقبة متأخرة وعلى يد الرياضيون العرب أنفسهم فقد بدأت رموز هذا العلم في شكل مصطلحات لغوية ثم تطورت زمن ذلك استخدام الخوارزمي ومن جاء بعده بقليل من المصطلحات التالية:
الجبر:نقل الحدود المنفية إلى الجانب الأخر من المعادلة.
المقابلة:توحيد الحدود المتماثلة.
الحد:الكمية المعبر عنها في المعادلة بعدد معلوم أو مجهول.
العدد الأصم الذي لا ينجذر إلا بكسر
ويعد حل المعادلات التكعيبية بواسطة قطوع المخروط من أعظم الأعمال التى أسهم بها الرياضيون العرب في هذا العلم .وقد طبقوا نظرياتهم فيها على حلول بعض المسائل الصعبة التي يؤدي حلها إلى معادلات تكعيبية.
ومن جملة المسائل التي وردت في تمريناتهم التطبيقية يتبين أنهم كانوا يعرفون حل المعادلات من الدرجة الثانية,كما عرفوا إن لهذه المعادلات جذرين قاموا باستخراجهما إن كانا موجبين.وتحققوا من الحالة التي يكون فيها الحل مستحيلا في نطاق الأعداد الحقيقية
ولعل الرياضيين العرب هم أول من استعان بالهندسة لحل المعادلات الجبرية من الدرجة الثانية وهذا من طرق الهندسة التحليلية ولثابت بن قرة ابتكارات لم يسبق إليها فقد وضع كتاب في الجبر بين فيه علاقة الجبر بالهندسة وكيفية الجمع بينهماتعتمد فكرة المسابقة على وضع سبورة كبيرة في فناء المدرسة
ورسم نجوم على السبورة وبداخل كل نجمه معادلة ثم تقوم من ترغب من الطالبات باختيار معادلة وحلها على السبورة وأمام زميلاتها إذا توصلت للحل الصحيح يكتب اسمها بداخل النجمة نفسها

لذا سيكون عنوان المسابقة ( اختاري مكانك بين النجوم تقوم فكرة المسابقة بعرض منتج مكتوب عليه معادلة وبدل السعر يكتب قيمة س ( حلها ) وتختار الطالبة أي من المعروضات مع الحل ثم تقوم بكتابة الخطوات صحيحة ومن ثم تحصل على الشيء المعروض ( من الرائع أنت تكون المعروضات أشياء مفيدة للطالبة: كتاب مفيد, قطعة أثاث ,حذاء جميل , وكلما كانت المعادلة صعبه كان المنتج أكثر ثمنا

ويشمل على
 شجرة عائلة المعادلات
 تمثيل حل معادلة الدرجة الأولى ذات المجهول الواحد بيانيا
 تمثيل حل معادلة الدرجة الأولى ذات مجهولين بيانيا
 تمثيل حل معادلات الدرجة الثانية ذات مجهولين بيانيا
 نماذج لمعادلات شهيرة في حياتنا
 نبذة عن بعض الشخصيات التي برزت في حل المعادلات

تخيل لو أن ثلاثة أطفال يملك كل واحد منهم 10 ريال اجتمع الثلاثة لشراء كرة ب 25 ريال.
دفع الأطفال الثلاثة 30 ريال للبائع والكرة ب 25 ريال يعني بقي مع البائع 5 ريال قام البائع بإعطاء كل طفل ريال وبقي معه ريالين أي أصبح كل طفل وكأنه دفع 9 ريال..
يعني ممكن نقول أن 9 × 3 = 27 ونضيف عليها ريالين التي مع البائع ليصبح مجموع نقود الأطفال مع البائع 29 ريال مع أن الأطفال كانوا يملكون 30 ريال.
السؤال :- أين ذهب الريال المفقود؟!


الدراسة = عدم الرسوب --- (1(
عدم الدراسة = الرسوب --- (2)
بجمع 1 و 2
الدراسة + عدم الدراسة = الرسوب + عدم الرسوب
بأخذ العامل المشترك
الدراسة ( 1 + عدم ) = الرسوب ( 1 + عدم )
وبشطب ( 1 + عدم ) من الطرفين
نستنتج أن
الدراسة = الرسوب ..



قبل أيام نجح طالب أمريكي في حل معادلة رياضية استعصت على الحل منذ (القرن التاسع عشر) . وتعرف هذه المسألة باسم «معضلة ديرشلت» نسبة إلى عالم الرياضيات «ليجون ديرشلت» الذي طرحها لأول مرة عام 1891 .. وفي حين فشل علماء الرياضيات في حلها حتى اليوم نجح في ذلك الطالب ميشل فيسكاردي (16 سنة) وفاز بجائزة مالية كبيرة من جامعة سانت دياجو !!
وهذه المعضلة ستساهم في تطوير أجنحة الطائرات كونها تحاول الربط بين تأثير حركة الهواء مقاومة الأشكال المعدنية .. كما توجد مشكلة رياضية - طرحها الألماني برنهارد ريمان قبل وفاته عام 1866 - سيساهم حلها في تأمين الاتصالات ونظم تشفير المعلومات ( وتتناول وضع قاعدة لكيفية ترتيب الأعداد الأولية التي لا يمكن قسمتها إلا على واحد اوعلى نفسها مثل 2 و3 و5) !!
.. ومن هنا يتضح أن واضع المعادلة نفسها لا يعرف بالضرورة حلها ولا يمكنه تفسير نتائجها ؛ ففي عام 1900 مثلا قدم عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت لائحة ب23 مسألة رياضية ترك حلها لعلماء «القرن العشرين» ( تم حتى الآن حل 17 منها ) . وفي عام 2000 قدم معهد كلاي للرياضيات جائزة بسبعة ملايين دولار لحل سبع مسائل رياضية رأى أنه ستؤثر بشكل كبير في حياتنا في «القرن الواحد والعشرين» (من بينها وضع قاعدة لترتيب الأرقام الأولية) !!
... وغني عن القول أنه مقابل هذه المعادلات الصعبة توجد حالات نجاح كثيرة لحلها وفك طلاسمها المعقدة ؛ فبالإضافة للقصة التي بدأنا بها المقال ؛ قدم العالم الفرنسي هنري بايونكير عام 1904مجموعة من المعادلات المتقدمة ووضع جائزة (مقدارها ألف فرنك فقط) لمن يجد حلاً لها. وفي 26 ابريل الماضي فقط اعلن بروفيسور من جامعة ساوث هامبتون ( يدعى مارتن داوودي) عن نجاحه في حل المعادلات ونشر الجواب في موقعه الخاص ..
كما نجح البريطاني اندرو وايلز عام 1994 في حل معادلة رياضية معقدة وضعها قبل 350 عاماً العالم الفرنسي بيار دو فيرما ( علما أن وايلز شارك شخصيا في اختيار المسائل السبع التي طرحها معهد كلاي للفوز بالسبعة ملايين دولار ) !! .. على أي حال ؛ يرى كثير من المتخصصين أن تطور أجهزة الكمبيوتر هذه الأيام - وسهولة التواصل عبر الانترنت - سيسرع من عملية حل المسائل العالقة ... ففي عقد السبعينيات مثلا قدم ثلاثة علماء (هم رون ريفيست، وآدي شامير، وليونارد أديلميان) نظام تشفير يدعى dSA بهدف تأمين المعلومات المتداولة على شبكة الانترنت (الناشئة حديثا) . وحينها ادعوا ان الأمر سيتطلب «ملايين السنين» كي يتم فك شفرتهم المكونة من 130 خانة رقمية عشوائية . ولكن يبدو ان العلماء الثلاثة لم يقدروا قوة الكمبيوترات الحديثة وحقيقة دخول ملايين «الهكرز» على الشبكة العالمية .. ففي عام 1993 اتفقت مجموعة من مشاغبي الانترنت على شن «هجوم موحد» على هذه الشفرة واستعملوا الانترنت نفسها لتنسيق جهودهم في هذا المجال. وفي اقل من عام استطاعوا كسر النظام والدخول إلى المعلومات المشفرة بها - الا انهم لم يحصلوا على أي جائزة نظير فعلهم السيئ وتوزعهم على 17 دولة !


حل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين بيانيا هو خط مستقيم .
و من المعروف ان الخط المستقيم يمكن تحديده بتعيين نقطتين عليه على الاقل .
من اين سنحصل على النقطتين؟

حيث ان النقطة يمكن كتابتها على صورة زوج مرتب لذلك فالنقطة هنا هى احد حلول المعادلة .
ويمكن حل نظام مكون من معادلتين بنفس الطريقة السابقة ليظهر الحل المشترك الذي هو بيانيا عبارة عن نقطة تقاطع للمستقيمين
مثال
تحل معادلة الدرجة الثانية ذات مجهولين على أنها معادلة دائرة
مركزها أصل المحورين إذا كانت على صورة س2+ص2=نق2


معادلة دائرة مركزها أي نقطة من المستوى إذا كانت معادلتها على صورة
(س ـ أ )2 +(ص ـ ب)2= نق2
لعبة حلوة يمكن إن تلعب مع الطالبات
توهم من تلعب معه هذه اللعبة بأنك تعرف أي عدد يختاره الآخرون من دون أن يقولوا لك ذلك ...
إذا أردت فاتبع الخطوات التالية

_ 1 اطلبي من الشخص أن يضمر عدد
_ 2 اطلبي مناه أن يضربه في 3
-3أ ن تضيف إلى الناتج بعد الضرب 1
_ 4 اطلبي منه أن يضرب النتيجة ب 3
_ 5 اطلبي منه أن يضيف إلى الناتج العدد المختار
_6 اطلبي منه الجواب الأخير . واحذف منه الآحاد فيكون الناتج المتبقي هو العدد المختار

مثال : لنفترض أن صديقتك اختارت العدد 5 فانه سيجري العمليات الآتية :
5×3=15
15+1=16
16×3= 48
48 +5 = 53
إذا حذفنا الآحاد وهو الرقم 3 يتبقى العدد 5 وهو العدد المختار

فكرة رائعة
وأساسها الرياضي هو:
سنفرض العدد س وسنقوم بالخطوات المطلوبة
س
3س
3س+1
3(3س+1)+س
9س+3+س
10س+3
أي أن العدد الناتج هو العدد الأصلي مضروب بـ 10 مضافاً إليه 3
وبحذف الآحاد بالكامل (طبعاً ستكون حتماً الآحاد 3) نحصل على العدد المطلوب
اللعبه الثانية هي كالتالي

نطلب من الشخص ما يلي
اضمر على عدد
خذ من زميلك مثله
خذ مني 8
ارمي النصف في البحر
ارجع لزميلك ما أخذت يبقى معك 4فهل تعرفون السر
حلوها على شكل معادله وانتم تعرفون السر في ذلك

منيرة صياف الحربي
معلمة موهوبات
الإبتدائية87

*********************************************************************************

حوار الإشارتين الموجبة والسالبة وهو مشهد تمثيلي :

الإشارة ( - ) :السلام عليكم

الإشارة ( + ) : ترمق الإشارة السالبة بتكبر ،و لا ترد السلام

الإشارة ( - ) : لماذا لا تردين السلام أيتها الاشارة ( + )


الإشارة ( + ) :لأنني أفضل منكِ ....

الإشارة ( - ) :تتعجب ... وبماذا أنتِ أفضل مني ؟

الإشارة ( + ) : لأنني المفضلة لدى الجميع .... أما أنتِ فغير مرغوب بكِ.

الإشارة ( - ) : وكيف ذلك ؟!!...

الإشارة ( + ) : لأني الربح بينما أنتِ الخسارة والجميع يفضل الربح على الخسارة ... أنا الأمام وأنتِ الخلف .... أنا اليمين وأنتِ اليسار ... أنا الأعلى و أنتِ الأدنى ..... أنا فوق وأنتِ تحت ... أنا التقدم وأنتِ التأخر .... أنا الصعود وأنتِ الهبوط .... أنا .. أنا..أنا ، هل تريدين المزيد؟؟!

الإشارة ( - ) :كفى ... كفى... لا أريد سماع المزيد ... و لكنني سوف اشكيكِ عند مجموعة الأعداد الصحيحة ص

الإشارة ( + ) : هه ..... افعلي ما يحلو لكِ.... لا يهمني أمركِ

تذهب الإشارة ( - ) إلى القاضي ص

الإشارة ( - ) :السلام عليك يا ص .


القاضي ص : وعليك السلام .... أهلاً بك أيتها الإشارة ( - ) أهلاً بابنتي الغالية .... ماذا بكِ أراكِ حزينة

الإشارة ( - ) : نعم ... فإن الإشارة ( + ) قد استحقرتني و حطت من شأني ، و قالت أنها الأفضل دائماً وانها المحبوبة والمرغوبة ... اما انا فلا.


القاضي ص : أهكذا فعلت الإشارة ( + ) فلتحضر حالاً.

يتحرك المستشاران ( ص + ) و ( ص - ) لجلب الإشارة ( + )



تحضر الإشارة ( + ) برفقتهما يملؤها الغرور و التكبر.... وتلقي التحية ، السلام عليكم ...

القاضي ص :وعليكِ السلام ، أهلا بكِ يا ابنتي ..هلما سمعته من شكوى ضدكِ من الإشارة ( - ) صحيح ؟!!

الإشارة ( + ) :نعم ... وهل الواقع عكس ذلك ؟؟!

القاضي ص : يتداول الحكم مع ص + ، ص - .... ثم يصدر الحكم .

بعد المداولة مع مجموعةص + و مجموعة ص - .... قررنا ما يلي:
• أنت لست الأفضل كما تزعمين .... ( تتهلل الإشارة ( - ) وتصرخ : هيه يحيا العدل ) فأنتِ متولدة أصلا من إشارتين سالبتين ( - ) × ( - ) = ( + ) وكلاً منكما معكوس جمعي للأخرى ، وبكما نحصل على ص + ، ص - ،وبجمعكما نحصل على الصفر ، العنصر المحايد في عملية الجمع ، وبإتحاد ص + و ص- نحصل على ص
( ص + ص - { الصفر}= ص
• وكما إننا نحتاج إلى الصعود نحتاج للنزول .... نحتاج لليمين وأيضا نحتاج لليسار... نحتاج للأمام ونحتاج للخلف....كماأن الربح لا يعرف إلا بعد الخسارة ... فالنجاح لا ُيعرف طعمه إلا بعد الفشل....

إذن فنحن نحتاج الإشارة ( - ) تماماً كما نحتاج الإشارة ( + ) ،فأنتما لا تختلفان في الصفات ، لأن كل منكما مكمل للآخر... وحكمنا عليك أن تعتذري للإِشارة ( - ) وتبدين الندم ولا تسخري منها مرة أخرى ... أما سمعت قول الله تعالى : " لا يسخر قومٌ من قومٍ عسى أن يكونوا خير منهم "

الإشارة ( + ) : تبدي الندم و تعتذر من الإشارة ( - )

الإشارة ( - ) : لقد سامحتك فالمسامح كريم على أمل أن لا تعودي إلى ما كنت عليه فنحن أخوات....

القاضي ص : بارك الله فيكما ... رفعت الجلسة....

وتخرجان من المحكمة متحابتين .....


**************************************************************************


حوار الأعداد الصحيحة

سلوى: طالبة مجتهدة في دورسيها كما إنها مثقفة وتقرا باستمرار.
الطالبة: ما هذا الموضوع يتكلم عن إعداد اسمها ك وإعداد اسمها ص
ماذا يعني بـ ك و ص
( تظهر الإعداد مجموعة الإعداد الكلية ومجموعة الإعداد الصحيحة ليتم الحوار التالي )
( ك ) : إنا مجموعة الإعداد الكلية ورمزي هو ( ك ) وانأ مجموعة غير منهية و .....
( مقاطعة سلوى قائله )
سلوى: اجل اجل وهي مجموعة تبدأ من الصفر إلى ما لانهاية, وقد سبق درستها
في الفصل الدراسي الأول.
( ك ) : نعم هي كذلك .
سلوى: وما هي إذا ص
( ص ) : قبل كل شئ اجبيني علي الأسئلة التالية .
سلوى: أني مستعدة .
( ص ) : هاتي كلمة معاكسة في المعنى للكلمات التالية :
إمام ، سريع , فوق ، ملئ , كبير , يكسب , يمين , موجب .
سلوى : تجيب .
انك ممتازة فعلا.
( ص ) :طيب ماهو الوضع المعاكس لخسارة 100 ريال ؟
سلوى : ربح 100 ريال.
( ص ): ماهو الوضع المعاكس لارتفاع درجة الحرارة ؟
سلوى : انخفاض درجة الحرارة .
( ص ) : بالنظر إلى ميزان درجة الحرارة ( لوحة مرسم عليها الميزان صـ23ـ ) ما عكس 10 درجات فوق الصفر ؟ كيف يمكن إن اعبر عن كتبتهما في هذه الحالة
- 5 يعبر عن ماذا على الميزان ؟ وكذلك + 5 ؟
سلوى: 10 درجات تحت الصفر. – 10 , + 10 ,
- 5 تعبر عن انخفاظ درجة الحرارة 5 تحت الصفر
+ 5 تعبر عن ارتفاع درجة الحرارة 5 فوق الصفر .
( ص ) : ممتازة ورائعة يا سلوى , تعالي نتعرف ألان علي ص
في الحياة أمثلة كثيرة تعبر عن وضعيين متعاكسين,منها الربح والخسارة
وكما أعطينا الأمثلة السابقة:
هي الإعداد الصحيحة: هي مجموعة الإعداد الكلية ومعكوساتها
اى إن الإعداد +5 عكس -5
+7 عكس – 7
ولذلك نسمي الإعداد المسبوقة بإشارة (+) الإعداد الموجبة
ولأعداد المسبوقة (-) الإعداد السالبة.
سلوى: ورمزها هو ص .
( ص ) : نعم يا عزيزتي
سلوى: إذا هي مجموعتان.
( ص ): قبل الإجابة ممكن تعطيني ماهو عكس العدد صفر
سلوى: اممممممم؟
( ص ): الصفر ليس لة عكس اى ليس بعدد موجب أو سالب
سلوى: إذا ص تظم ص + و ص_ و الصفر
( ص ): هل لي بسؤال أخر ؟
سلوى: بكل سرور.
( ص ): هل هي مجموعة منتهية ؟
سلوى: اترك الجواب لزميلاتي ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
( ص ) أتمني قد وفقت في الإجابة علي اسئالتك وان تكوني مستعدة لدراسة المزيد عن هذة الإعداد.
سلوى : شكرا لك أني في أتم الاستعداد .

**********************************************************************
واتمنى اني وفقت في عرض بعض النماذج الجيدة لهذا المهرجان

...ح - عبدالله الجهني